BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL,F,T

BAB 6 Distribusi normal, f,t

• 1. DISTRIBUSI NORMALRatu Ilma Indra Putri
• 2. Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal seringdisebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang palingpenting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG(BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata sebagai sumbu simetrisnya.X
• 3. Variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakandengan persamaan :22121)( −−= σµπσxexfDengan :Dengan :π = Nilai konstan yang ditulis hingga 4 desimal π = 3,1416e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusiσ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusiJika Nilai x mempunyai batas nilai , maka dikatakan bahwavariabel acak X berdistribusi normal.∞<<∞− x
• 4. 1. Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)2. Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ3. Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/σ4. Grafik mendekati sumbu-X pada X = µ-3µ dan X = µ+3µ5. Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sampel n ≥ 306. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas.Sifat-sifat penting dari distribusi normal adalah :Untuk tiap pasang µ dan σ,sifat-sifat di atas selalukurva normal denganμ = 10 dan σ = 5kurva normal dengan μ = 20 danσ = 7sifat-sifat di atas selaludipenuhi, hanya bentukkurvanya saja yang berlainan.Jika σ makin besar, kurvanyamakin rendah (platikurtik) danuntuk σ makin kecil, kurvanyamakin tinggi (leptokurtik).
• 5. Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni )( bXaP <<( ) dxebXaPxba22112)( −−−∫=<< σµπσUntuk penggunaan praktis telah dibuat daftar distribusi normal baku (standar)yaitu dengan µ = 0 dan σ = 1 sehingga fungsi densitasnya berbentuk :22121)(ππ−−= ezfDengan batas z yaitu ∞<<∞− z
• 6. Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal bakudigunakan rumus :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :
• 7. Setelah distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal umum makadaftar distribusi normal baku dapat digunakan. Bagian-bagian luas distribusinormal baku dapat dicari. Caranya adalah :1. Hitung z sehingga dua desimal2. Gambarkan kurvanya seperti gambar normal standar3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hinggamemotong kurva.6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, makadidapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harusdituliskan dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengangaris tegak di titik nol.5. Dalam tabel normal cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya satudesimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
• 8. Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku yang akan dicari luas daerahyaitu :1 Antara z = 0 dan z = 2.15Gunakan tabel Distribusi Normal.Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1dan di atas sekali cari angka 5.dari 2,1 maju ke kanan dan 5menurun, didapat 0.4842.Luas daerah yang dicari, dilihatdaerah yang diarsir = 0,9842.2Antara z = 0 dan z = -1.86karena z bertanda negatif, makapada grafiknya diletakkan disebelah kiri 0. Untuk daftardigunakan di bawah z kolomkiri didapat 1,8 dan di atasangka 6. Dari 1,8 ke kanan dandari 6 ke bawah didapat 0.4686Luas daerah=daerah diarsir =0,4686.
• 9. 3 Coba Anda Gambar ……4 Indeks prestasi kumulatif (IPK) rata-ratamasasiswa suatu perguruan tinggi adalah2.76 dengan simpangan baku 0.40. jikaantara z = -1.50 dan z = 1.82dari grafik terlihat kita perlu mencari luas dua kali,lalu dijumlahkan.Mengikuti cara di 1 untuk z = 1.82 dan cara di 2untuk z = -1.50, masing-masing didapat 0,4656dan 0,4332.Jumlahnya = luas yang diarsir = 0,4332 +0,4656=0,8988Dari tabel normal proporsi luas antara z = 0dan z = 0.60 adalah 0.2257 sehingga proporsimahasiswa dengan IPK 3.00 (bagian yangdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau1,82-1,502.76 dengan simpangan baku 0.40. jikadiasumsikan IPK berdistribusi normal, berapapersenkah mahasiswa yang memperolehIPK ≥ 3.00 ?Penyelesaian :Letak IPK = 3.00 pada kurav normalditunjukkan oleh bilangan baku :6.040.076.200.3=−=−=σµXZdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau27.43%Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, makadilakukan langkah sebaliknya.
• 10. Fenomena distribusi data normal :• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerahsatu simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - σ dan µ + σ.• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerahdua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitudua simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 2σ dan µ + 2σ.• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerahtiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 3σ dan µ + 3σ.
• 11. Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaanrentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yangmeruncing tinggi karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.2. Platykurtic, merupakan kurva normal yangmendatar rendah karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yangbiasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antaraleptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skorbiasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
• 12. Bentuk ketiga kurva normal itu dapatdilihat pada grafik, berikut ini :
• 13. DISTRIBUSI FDISTRIBUSI F
• 14. Distribusi F merupakan distribusi variabel acak kontinu. Fungsidensitasnya mempunyai persamaan :( )2112121)2(211.)(vvvvFvFKFf+−+=2 Dimana :F = Variabel acak yang memenuhi F > 0K = Bilangan tetap yang harganya bergantung pada derajat kebebasan v1 dan v2v1 = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)v2 = Derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)Luas dibawah kurva sama dengan satu.
• 15. Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 denganderajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yangdiarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas danderajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.Distribusi FDengan v1 danv2 adalah derajatkebebasanareaNotasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dandk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :F0.05(24,8) = 3.12 dan F0.01(24,8 )= 5.28
• 16. Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01,tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan0,95. Untuk ini digunakan hubungan :( )( )( )21,,11vvpvvpFF =−( )2121,vvpFDalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antaraderajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1).
• 17. DISTRIBUSI STUDENT (t)DISTRIBUSI STUDENT (t)
• 18. Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normalialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnyaadalah :nntKtf21211)(−+=n 1 −Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhiK merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikiansehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.∞<<∞− t
• 19. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akandisingkat dengan dk.Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukanoleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekatipola distribusi normal.n = ∞n = 10n = 2n = 2Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baristeratas berisikan nilai peluang.
• 20. Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luasbagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yangdicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.
• 21. Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi-t1. Untuk n = 13, jadi dk = (n-1) = 13 - 1 = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,782ini didapat (lihat tabel distruibusi-t) dengan jalan maju ke kanan dari 12 danmenurun 0,95.2. Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini pyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangdiminta kurang dari 0,5, maka t harus bertanda negatif. Jadi t = - 1,83